都是错在定义域

<正>函数的三要素是:定义域、值域和对应法 则.因而,研究函数问题,首先要考虑函数的 "定义域",否则,必然出错.本文所列举的问 题,都是因为对函数的定义域理解或注意不够 而导致错误,希望同学们学习时高度注意.

使用递推式时应注意n的范围

<正>问题 已知数列{an}的首项为a1=5,an= a1+a2+…+an-1(n≥2),求它的通项. 错解 由an=a1+a2+…+an-1=(a1+ a2+…+an-2)+an-1=an-1+an-1=2an-1得 an/an-1=2.故数列{an}是首项为a1=5,公比为2 的等比数列,所求的通项为an=5×2n-1. 分析 由已知a2=a1=5,但由an=5× 2n-1得a2=10,故为错解.出错的原因是对n的 范围注意不够,为了避免这种错误,在解题过 程中应注意以下两点:

用柯西不等式证明点线距公式

<正>求点到直线的距离公式是一个很有魅力 的数学问题,它吸引广大师生为之苦苦思索, 得到很多证法.现介绍一种证法,供大家参考. 已知定点为P(x0,y0),定直线为Ax+By +C=0,求证点P到定直线的距离为 证明 设Q(x,y)为定直线上任意一点, 则d为|PQ|的最小值. ∵ C=-Ax-By, ∴Ax0+By0+C =-Ax-By+Ax0+By0 =A(x0-x)+B(y0-y). 再由柯西不等式:

概率和数列知识的融合

<正>本文举例介绍递推法在解决概率问题中 的应用. 例题 有人玩硬币走跳棋的游戏.已知硬 币出现正、反面的概率都是0.5,棋盘上标有第 0站、第1站、第2站、…、第100站.一枚棋子 开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳 动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站,若掷出 反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第99 站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时, 该游戏结束.求此人玩该游戏获胜的概率.

解题过程中的整体策略

<正>解题时,我们常常习惯于把问题分解为若 干个简单的问题,然后逐个击破,分而解之.其 实,对于有些问题的研究,若能有意识地放大 考察问题的视角,将需要解决的问题看作一个 整体.通过研究问题的整体形式、整体结构,考 察已知条件与待求结论在这个整体中的地位 和作用,然后通过对整体结构的调节和转化, 使问题更方便地获得解决.

对一个由等式转向不等式问题的剖析

<正>曾见这样一题:已知a、b、c∈R,a+b+c= 1.a2+b2+c2=1,求a的取值范围. 分析 这是一道由已知是"等式关系"推 导出"不等式范围"的问题,解题思路的寻找就 是构架起由已知通向未知的桥梁.由等式转向 不等式主要有三种方式:(1)△法(一元二次方 程有实根) (2)基本不等式法 (3)几何位 置关系法. 剖析1 用△法来解题:即△式子是一个关 于a的不等式,因此要构造一个系数有a的一元 二次方程,怎样去构造呢?由已知等式构造一个 b,c是方程两根的一元二次方程,由已知可得b +c=1-a,bc=a2-a,所以可得一元二次方程 x2-(1-a)x+a2-a=0,因此由△≥0得(1-

利用点重合巧解题

<正>众所周知,点P(a,b)与Q(c,d)重合的充 要条件是a=b且b=d,利用这一条件解某些 数学问题,可以收到出奇制胜的效果,请看两 例. 例1 设n∈N且sinα+cosα=-1,求 sinnα+cosnα的值. 解 易知点P(sinα、cosα)既是直线x+y, =-1上的点又是圆x2+y2=1上的点,而该 直线和圆的公共点只有A(0,-1)和B(-1,0) 两点,所以点P与点A或点B重合,从而有

组合数的性质在数列求和中的应用

<正>由组合数的性质Cnm+Cnm-1=Cn+1m。可得Crr +Cr+1r+Cr+2r+…+Cnr=Cn+1r+1(*),利用(*)可 方便地解决一些数列求和问题.现举例说明 之. 例1 求和1×2+2×3+3×4+…+n× (n+1). 分析 将通项n×(n+1)改写成A22Cn+12的 形式,然后利用(*)求解.

常数列在解数列题中的作用

<正>在数列里,常数列可谓名气不高,只是偶 尔提一提.其实它在解题中有其特殊作用. 例1 设{an}是首项为1的正项数列,且 (n∈N+),求an. (2003年全国高考) 解 将 分解 因式得

智慧窗《比较大小》

蛋糕如何分割

<正>1.问题的提出 在某同学的生日聚会上,共来了20位同 学,在分食生日蛋糕时,有人提出:"为了使每 位同学都能分到一块蛋糕(不要求每块蛋糕大 小都一样)则至少要切几刀?" 2.模型的构建与求解 按习惯,在切蛋糕时总 是沿竖直方向向下切,如果 我们共切了n刀,则每刀在 蛋糕的上表面的切痕是n条 直线,这n条直线(切痕)将

重视对特殊图形的研究

<正>平面几何学习的主要目的是培养学生空 间想象能力和逻辑思维能力,它也是数学竞赛 的重要内容.在命题和解题过程中要特别注意 对图形的各种形状和位置关系的研究,在使用 定理时应根据图形的形状判断题目是否具备 应用定理的条件,否则就可能出现错误,请看 下面的题目.

直线与圆锥曲线综合题的解法探究

<正>直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高 考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关 系的判定、弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹 问题等.突出考查数形结合、分类讨论、函数与方 程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问 题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉 开考生"档次",有利于选拔的功能.

观察——猜想——证明

<正>从近年来高考中探索性问题逐年攀升的 趋势,特别是2003年和2004年连续两年加大 结论开放型探索性问题的力度,可预测探索性 问题仍将是高考命题追求的目标.下面例谈解 决探索性问题的一种常用方法:观察-猜想- 证明. 例1 由下列各式:

圆的两条性质对椭圆双曲线的推广

<正>大家知道,圆里有两条重要性质: ①直径所对的圆周角是直角; ②平分弦的直径垂直于弦. 从解析几何角度看:在图1中若两条直线 的斜率存在,则有①kAP·kBP=-1;②kOM· kCD=-1.

古希腊神话与倍立方问题

<正>古希腊曾流传着这样一个神话:公元前四 百年左右,希腊第罗斯岛上流行伤寒病,许多 人得病死亡,为了消除这个灾难,人们便一起 到岛上的神庙去祈求神灵保佑,太阳神阿波罗 说:"如果要使疫病被制止,除非把我神殿前的 立方体祭坛不改变形状而使体积增大原来的 两倍."当第罗斯岛人听说之后,很高兴,认为 这很容易做到,以为只要把立方体祭坛的各棱 长放长一倍就可以了.于是,他们就做了一个 新祭坛.但是,疫病并没有停止,反而更加猖獗 蔓延.原来他们做的那个新祭坛是原来体积的 八倍,而不是原来的两倍.

聚焦导数定义

<正>导数是高中数学的新增内容,为高中数学 注入了新的活力,利用导数可从更深的角度来 研究函数的性质.本文聚焦导数定义,对平时 遇到的有关导数概念的题目分类分析,以期加 深对导数概念的理解和应用. f(x)在点x0处的导数:

一道向量题的多种解法

<正>我们在做数学题的时候,常常会遇到一些一 题多解的题型,而有些经典题在各种解法中往往 涵括了很多的知识点.这类题可有助于我们迅速 复习一些知识点,也可扩大我们的视角.下面介 绍一道向量例题和它的几种解法.

极端化原理

<正>某些数学问题中所出现的各个元素的地位 是不平衡的,其中的某个极端元素或个别元素的 极端状态往往具有优先于其它元素的特殊性质, 而这又恰好为解题提供了突破口.从极端元素入 手,进而简捷地解决问题,这就是通常所说的极 端化原理. 使用极端化原理的关键在于抓住问题的极

还有一解值得一提

<正>问题 一条直线L经过点P(2,1),且与x 轴正半轴、y轴正半轴交于B、C两点.如果三角 形BOC的面积最小,求此直线L的方程. 此题是本刊2004年第7月上期《一个解析 几何问题的解法及启示》中的问题.它给出了多 种解法以及启示,写得很好.但在问题的多种解 法中,本人认为还有一种常见的通解,没有给出, 应值得一提. 解法 (待定系数法) 利用直线的截距式, 以及不等式的性质定理:两个正变量的和是常 量,积有最大值. 解 设直线方程为x/a+y/b=1(a>0,b>0).

上期课外练习参考解答

第八届北京高中数学知识应用竞赛决赛

<正>试题 1.(满分16分)三视图是从主视、左视、俯视 三个方向观察物体,得到的平面图形.如图1所示 的物体是由一个六棱柱和圆柱组合而成的,主视 图显示出正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面,左视 图显示出正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面,俯视 图显示出一个正六边形和一个圆(中心重合),图1 还给出了三个视图的位置关系.